Construindo Mandalas no InkScape

Fazer uma mandala é algo prazeroso e que desenvolve o seu senso artístico. Mas construir mandalas tem muita Matemática envolvida e vamos explorar isso com o uso do InkScape (a mandala abaixo se encontra disponível nesse link: https://drive.google.com/drive/folders/1WxN3VpuY-oEGeWp0k8_d-x6xxctMU9_M?usp=sharing:

Como você pode observar as Mandalas possuem uma ou mais formas geométricas que se repetem de forma harmoniosa e nessas repetições usamos os conceitos de posição X e Y (plano cartesiano), simetrias, translações, ângulos e até mesmo matrizes. Para verificarmos a existência desses conceitos vamos construir uma Mandala usando o InkScape e conforme as construções acontecerem, iremos visualizar a Matemática existente.

O primeiro passo é construir uma forma básica que irá ser repetida. No exemplo da figura abaixo usamos uma elipse (opção em verde) como figura-base que irá ser clonada formando uma flor. Além disso, escolha um centro para sua mandala, usando as linhas guias (destacado em azul), pois desse centro dependerá toda a construção da sua mandala.

Uma primeira decisão é escolher o centro de repetição da figura, pois se o centro estiver dentro da própria figura, ela irá rotacionar dentro dela mesmo (observe a figura abaixo, o primeiro caso), que nessa construção não é o que queremos (se você quiser usar essa possibilidade para outra construção fique a vontade, mas não irá ter o formato necessário para a mandala em forma de flor). No segundo caso, o centro da figura (dê dois cliques nela e arraste a cruz para fora dela) foi deslocado de modo a coincidir com o centro da mandala construído acima com os eixos.

Mas agora você deve estar se perguntando, como consegue-se esse aspecto de repetição da forma básica (elipse)? Para isso, vá no menu "Editar/Clone/Clonar em Ladrilhos..." e na janela que abrir preencha os valores destacados na figura (lembre-se que esses valores mudam conforme o tamanho da sua mandala e da figura-base):

Esse valores correspondem ao posicionamento X e Y (plano cartesiano) que as elipses clonadas irão ter, o valor de giro de cada uma delas (ângulo) e que deve fechar a soma em 360º e por último, os valores referentes a disposição matricial dessas elipses, que no nosso caso é um arranjo de uma única linha de elipses dispostas em 12 colunas. Somando-se todos esses três atributos temos a construção mostrada na figura acima. Incrível, não é mesmo?

Agora que entendemos o exemplo acima, criar novas disposições das figuras-bases para a confecção da mandala fica muito fácil, basta alterar os valores acima e trazer novas formas básicas e é nesse momento que o seu dom artístico vai fazer a diferença. Que mandala você consegue construir? Hora de colocar a mão na massa, não esquecendo de usar cores vibrantes nela e apresentar pros seus amigos a sua produção. Até a próxima!

A Matemática da minha casa: Modelando a casa com o TinkerCad

Que tal criar uma maquete 3D da sua casa a partir da planta baixa que foi elaborada nos post anteriores (https://vemfazermatematicaegames.blogspot.com/2019/06/a-matematica-da-minha-casa-construindo.html e https://vemfazermatematicaegames.blogspot.com/2019/06/a-matematica-da-minha-casa-construindo_19.html)? Para isso utilizaremos o websoftware TinkerCad e a leitura da planta baixa já construída. 

O primeiro passo é delimitar a área total da construção (um tablado) em que vamos utilizar as dimensões máximas da casa encontradas na planta baixa (lembre-se que o TinkerCad trabalha com milímetros e devemos manter as escalas de construção).

Após isso, o próximo passo é construir as paredes, lembrando que elas devem ter 1.5 milímetros de espessura (15 centímetros reais) e com 27 milímetros de altura (os 2,70 metros reais que é o valor padrão de altura em relação a primeira lage) e os valores de comprimento já apresentados na planta baixa. No decorrer da construção das paredes, você irá perceber que eventualmente que elas podem ficar alguns milímetros fora da posição (embora tenham a metragem correta) e se você mudar a grade para 1 milimetro fica mais fácil de corrigir os excessos.

O passo final é construir as portas e janelas com as dimensões adequadas. É importante construir janelas e portas com uma espessura maior do que a parede (sugiro 1,7 milímetros) para que não desapareçam dentro da parede já construída. Lembre-se que a altura padrão de uma porta é de 2,10 metros (no Tinkercad use 21 milímetros) e que a janela deve ser alinhada com a altura da porta, para ficar esteticamente mais atraente (é possível fazer diferente, mas não é comum nas construções). 

Como você pode ver acima, após a colocação das portas e janelas, foi utilizado a opção de agrupamento para tratar a construção como uma só (e não o conjunto de sólidos que a formam) e por fim a construção de um telhado usando o sólido "Telhado". É possível fazer ainda outras decorações tanto no exterior (cimalhas, texturas, desenhos) como no interior da casa (decorações em geral). Você pode ver a construção acima disponível em: https://www.tinkercad.com/things/d6QEgSRhC0X.

Por hoje foi isso. Deixe nos comentários os links com as construções feitas por você e até a próxima!

A Matemática da minha casa: Construindo a planta baixa (Parte:02).

Conforme o post anterior (https://vemfazermatematicaegames.blogspot.com/2019/06/a-matematica-da-minha-casa-construindo.html), construímos uma planta baixa de uma casa que nada mais é que uma representação em 2D  de um corte horizontal em menor escala:

Agora precisamos inserir os valores numéricos que serão orientativos para a construção da mesma, lembrando que toda a construção realizada anteriormente deve seguir os valores escalonados, ou seja, se a abertura da porta tem 60 centímetros reais, na planta baixa ele deve ter sido construído com 6 milímetros, pois a escala utilizada é de 1 centímetro na planta correspondem a 100 centímetros reais (multiplique sempre por 100 nessa escala - 6 mm vezes 100 = 600 mm que é 60 cm).

Dito isso, vamos aos principais valores que devem constar na planta (todos eles expressos em valores reais) e como organiza-los:

Na figura acima podemos ver a primeira situação onde foram construídas linhas auxiliares tracejadas e mais fracas que delimitam os espaços que terão medidas marcadas na planta baixa (use valor de largura de contorno menor  e traços do tipo tracejado, que podem ser encontrados na opção Preenchimento e Contorno). Atenção que foram colocados 3 níveis de detalhamento na parte inferior: 

A: as medidas relativas ao tamanho das portas e janelas, que não precisam necessariamente ser calculadas suas distâncias em relação aos extremos da casa, pois obedecem leis dos cômodos.

B: as medidas relativas a disposição dos cômodos e o valor de espessura das paredes, pois é muito importante ter as dimensões exatas de onde terá uma parede para que não haja percas ou sobras nos cômodos construídos.

C: as medidas externas da casa devem ser indicadas para não haver sobras ou excessos na construção que podem afetar a construção com um todo.

Por fim, é importante descrever qual a função de cada cômodo e sua área interna que irá depender das medidas bem realizadas anteriormente. É importante saber os valores de área interna pois existem valores mínimos de conforto que conforme a disposição dos móveis dentro da casa podem tornar a vivência na casa melhor ou pior (para saber mais consulte: https://www.aarquiteta.com.br/blog/medidas-minimas-para-comodos/). 

Não esqueça de calcular a área interna total da sua casa, colocar a escala utilizada e a sua logo de produção. Com isso estará terminada a sua planta baixa. Existem outros tipos de plantas (elétricas, hidráulicas, etc.) que podem ser construídas utilizando os elementos aqui vistos e que tem suas próprias funcionalidades. Se você quiser ter acesso aos arquivos SVG usados na construção apresentada, você pode acessar eles em: https://drive.google.com/drive/folders/1BrZQm7j4bCgh2Wrlg-9aqbqAFRtseK9j?usp=sharing.

Agora é com você! Comece seus esboços e vá construindo a planta baixa da sua casa dos sonhos. Depois compartilhe com seus colegas e deixe nos comentários suas percepções sobre essa construção. Até a próxima!

A Matemática da minha casa: Construindo a planta baixa (Parte:01).

Já pensou em construir a planta baixa da sua casa? Isso é possível com a utilização do software Inkscape e de alguns conhecimentos da área da engenharia civil, do qual existe uma grande Matemática contida.

A sugestão inicial é você ter um desenho em um rascunho de papel com o formato e divisão dos cômodos da sua casa que servirá de modelo para a planta baixa. Em seguida, o primeiro passo é construir o formato externo que sua casa irá ter, normalmente é um quadrado ou um retângulo, mas que podem sofrer deformações por conta de avanços ou recuos (áreas externas por exemplo). Lembre-se ainda da importância das medidas externas da sua casa para evitar distorções, afinal uma planta baixa é a representação real, só que em menor escala da sua futura casa. Na construção abaixo, estamos construindo uma casa com 12 metros de comprimento por 4 metros de largura (um retângulo), que será representada numa escala 1:100 (1 centímetro na planta correspondem a 100 centímetros reais, ou seja, 1 metro):

O segundo passo é criar as divisões internas (os cômodos da casa) que podem ser realizados com a construção de segmentos (figura A), lembrando sempre de respeitar os tamanhos originais do projeto de acordo com a escala utilizada.

Na nomenclatura das plantas baixas as paredes são duas linhas paralelas conforme pode-se visualizar na figura B e, que se refletirmos um pouco sobre, significa realmente uma parede que foi cortada horizontalmente. Essa parede irá necessitar ter 1,5 mm que na escala utilizada que significam os verdadeiros 15 cm reais que uma parede possui. Para obter o resultado da figura B a partir da A, você deve seguir os seguintes passos:

• Selecione todas as construções e use a opção "Converter em caminho" (está no menu caminho), pois diversas construções não são caminhos e todas as formas precisam ser padronizadas como tal. Para um entendimento rápido, caminho no Inkscape é uma construção geométrica formada por pontos e variações de ângulos escritos dentro do código SVG, que são diferentes das formas geométricas básicas da Matemática (círculo, quadrado, etc.). E como precisamos fazer as operações de caminho (como união, diferença, etc.) não seria possível realizá-las por serem construções totalmente diferentes.
• Ainda com tudo selecionado, vá na opção "Preenchimento e Contorno/Contorno'' (aperte Shift+Ctrl+F) e use o valor de contorno igual a 1,5 mm. Em seguida use a opção "Converter Contorno em Caminho" (também presente no menu caminho). Isso é responsável por criar os contornos das formas que você criou primeiramente com o espaçamento interno de 1,5 mm referente a grossura da parede. Use a opção "União" (que está em caminho) para unir todas as construções que estavam separadas até então.
• Agora será aplicado a retirada do preenchimento na opção "Preenchimento e Contorno/Preencher" (aperte Shift+Ctrl+F) e em seguida, adicionar contorno na opção "Preenchimento e Contorno/Cor do Contorno" e digitar o valor de contorno para 0,2 mm na opção "Preenchimento e Contorno/Contorno''. Seguidos esses passos você irá obter o resultado final apresentado na figura B.

O último detalhe na construção da planta baixa é construir janelas e portas. Tal como as paredes, existe uma simbologia que remete ao local onde está a janela ou a porta, que deriva do corte horizontal da estrutura 3D. Para as janelas pode se representado 3 segmentos paralelos que seriam as aberturas da janela e para a porta a representação é um segmento com um arco, para simular a porta vista de cima e sua abertura.
Para construir as janelas e portas, primeiramente precisamos fazer as aberturas nas paredes já construídas e com as medidas corretas. É possível fazer isso construindo um quadrado de tamanho da porta ou janela (posicionado corretamente na planta baixa) e usando a opção "Diferença" (que está em Caminho) em relação ao desenho das paredes já construídas e você irá obter a abertura. Em seguida é só fazer a construção das portas e janelas usando semi-círculos e a caneta de bézier.

Com isso finalizamos a construção de uma planta baixa e no próximo post iremos abordar alguns valores e informações que devem estar presentes. Até a próxima!

Construindo a caneca perfeita!

Que tal modelar uma caneca personalizada no TinkerCad, mas que nela possam ser colocados exatos 300 mililitros de líquido e que possua exatos 10 centímetros de altura, pois se ela tiver uma altura maior, não conseguirei guardar ela na prateleira. Vamos resolver esse desafio?

Para resolver esse problema precisaremos usar um pouco de Matemática para poder calcular o volume interno da caneca que iremos modelar. Sabemos que 1 m³ equivale a 1000 litros, logo calculando a regra de três, saberemos que 300 ml equivale a 0,0003 m³.

Agora, vamos utilizar a fórmula do calculo de volume do cilindro (afinal uma caneca tem o formato de um cilindro) para encontrar o valor do diâmetro que utilizaremos na modelagem 3D. Atenção para o detalhe, que a fórmula do volume vai nos trazer o valor do raio (que é a metade do diâmetro) e em metros, e precisaremos fazer algumas transformações de medidas para obter o valor em milímetros que é a unidade usada no TinkerCad:

Perceba, que caso você tivesse um valor de raio (ou diâmetro) e quisesse encontrar a altura da caneca também seria possível, apenas faria as substituições necessárias na fórmula de calculo de volume do cilindro. Agora é só aplicar esses valores na construção de um cilindro (com retirada de volume) no TinkerCad e construir um cilindro maior ao redor e os adereços para deixar a caneca bem estilosa.

Por hoje foi isso. Deixe nos cometários abaixo as fotos das suas canecas estilizadas e até a próxima!

Construindo um personagem para o seu jogo de tabuleiro.

Criar personagens para jogos ou histórias pode ser feito de diversas formas: 2D (como se fossem fichas) ou 3D (bonecos), dentre outras possibilidades. Hoje vamos utilizar  as planificações de cubos e paralelepípedos para construir um personagem (que carinhosamente chamei de Mathkito) em 3D para utilizar um um jogo de tabuleiro.

Para construir o Mathkito (que se encontra disponível em: https://drive.google.com/drive/folders/13zEiHEqQLMxv_W5Hz4nO9c_ehq0AZQxH?usp=sharing) foi utilizado o software de desenho vetorial 2D Inkscape. Usando a opção Extensões/Renderizar/Caixa Dobrável, você pode construir cubos e paralelepípedos com as dimensões de altura, largura e profundidade escolhidas por você: 

Além disso, é possível desenhar detalhes, pintar e até mesmo usar recorte de outras imagens, tudo isso no próprio Inkscape. No meu caso, coloquei detalhes mínimos e deixei para desenhar as expressões faciais posteriormente.
Mas e o que aprendemos de Matemática? Com a utilização desse recurso, aprendemos sobre a planificação de cubos e paralelepípedos e uso de medidas de comprimento. Infelizmente o Inkscape não constrói outros sólidos regulares, mas caso você queira pode construir eles manualmente de modo a complementar suas criações:

Por hoje foi isso. Deixe nos comentários as fotos dos seus personagens construídos e suas aprendizagens fabricando eles. Até a próxima! 

Um objeto 3D que é formado por placas 2D? A magia do fatiamento.

Você já ouviu falar das curvas de nível? Elas podem ser entendidas como linhas imaginárias que unem todos os pontos de igual altitude de uma região representada. Mas porque estamos falando disso? Porque existe uma incrível Matemática presente nessa estrutura e que vamos aplicar seu uso para todo e qualquer objeto 3D e que iremos denominar como fatiamento (slicer em inglês).

Como podemos ver acima, utilizamos um arquivo STL (uma esfínge) carregado no Slic3r e foi modificado o valor de Layer para 3 mm que é o tamanho da chapa em MDF, que será utilizada no corte e também precisou ser modificado o tamanho de extrusão do Nozzle de modo a "permitir" que esse objeto seja impresso cortado com camadas de 3 mm (está destacado as alterações na figura abaixo em verde). Esse truque é necessário para você possa usar a opção "Slice for SVG ..." (destacado em vermelho) que está em "File" que exporta um arquivo SVG necessário para o corte a laser com as camadas fatiadas.

Agora com o arquivo em SVG, vamos usar o InkScape para tratar as imagens fatiadas que irão compor  um arquivo final em SVG (como o abaixo) que poderá ser cortado em uma laser ou na tesoura mesmo (usar papelão):

Para chegar nesse resultado (que você pode baixar o arquivo do seguinte link: https://drive.google.com/drive/folders/142SJ2foL4frzVeYBQ8BGDGLt8SWgXNtS?usp=sharing) será necessário você aplicar um contorno (aperte Shift + Ctrl + F para ativar a opção) pois todos os fatiamentos vem sem nenhum contorno ou coloração e você pode aplicar tudo de uma só vez, basta selecionar todas as imagens. Em seguida, você vai separando as imagens que vem uma em cima da outra e as distribuindo dentro da área de desenho (lembrando que ela deve ser igual ao tamanho da sua chapa de MDF ou papelão). Recomendo fortemente a deixar elas sequenciadas para corte ou se precisar aproveitar a área de corte, que deixe indicações para não perder a sequência das imagens de fatiamento.
Agora falando um pouco da Matemática presente nessa construção. Lembra do seu professor de Matemática comentando sobre corte de secção em objetos 3D? Pois bem, fizemos isso hoje, só que foram vários cortes sequenciados com a mesma espessura e em objetos tridimensionais mais complexos do que os simples sólidos que são trabalhados em sala de aula:

Por meio desse corte de secção temos as mais diferentes aplicações usadas em engenharia (cortes estruturais presentes em plantas de prédio e casas), medicina (cortes anatômicos) e conforme já mencionado na Geologia (topografia de terrenos). Incrível, não é mesmo? E você, que tipos de figuras você gostaria de fatiar para conhecer melhor sua estrutura e propriedades? Deixe nos comentários suas produções e nos vemos na próxima atividade.