Entendendo o Espaço de Minkowski (Topologia) - Parte 03

Mas e o Minkowski? Depois de todo esse percurso chegamos ao ponto de utilizar a ferramenta Minkowski presente no OpenSCAD de forma mais satisfatória. Observe o exemplo abaixo:

Temos um triângulo (em vermelho) e dentro dele teremos um círculo (em azul) se deslocando e fazendo os preenchimentos necessários. Note que nessa simulação, as pontas do triângulo não podem ser alcançadas pelo círculo formando a figura que aparece abaixo (em rosa). Isso é a operação de Minkowski.

É possível extrapolar para outras formas geométricas, confira como fica um hexágono:

E assim é possível brincar com diversas formas geométricas e “lapidar” suas pontas. Que tal testar com as mais diferentes formas geométricas? Que resultados você espera obter? Deixe nos comentários abaixo as suas experiências.

Entendendo o Espaço de Minkowski (Topologia) - Parte 02

Agora que entendemos o básico sobre a construção de um polígono regular (Parte 01) é hora de avançarmos para alguns procedimentos mais estéticos antes de entrarmos propriamente no Minkowski. Agora iremos aprender a chamar por comando a forma desejada, pois isso abre campo para a construção de várias formas ao mesmo tempo e podendo compor objetos maiores:

Perceba que foi definido em “module” o nome de como vai ser chamada a entrada de comando e em seguida a definição de como ele é construído com as demais linhas de comando. Faça algumas alterações em “poligono (4);”, substituindo o 4 por 6, 7 e 10. Que figuras obtemos?

Para construir outras figuras geométricas é necessário que elas não se sobreponham, por isso um comando de mudança de coordenada é necessário. Para isso utilizaremos o “translate([0,0,0])” ao lado do comando de cada forma geométrica construída e substituíndo os zeros por valores nos eixos x, y e z respectivamente:

No caso, acima além do quadrado, foi construído um octógono (na forma 3Dl) e a segunda forma foi deslocada em x e y para a coordenada (15,15). Mas e se quisermos colorir cada uma delas? Utilize para cada uma das formas geométricas o comando “color([0,0,0]), onde cada um dos valores numéricos correspondem às entradas do RGB (Red, Green, Blue) que conforme o valor 0 (não) e 1 (sim) irão formar as demais cores por composição (se quiser saber mais fica a sugestão e leitura: http://www.ufrgs.br/engcart/PDASR/formcor.html#2). 

Na programação acima temos a repetição das construções anteriores, mas agora é designada o valor 1 em cada entrada para formar as cores azul e vermelha? E as demais cores, como ficaria a programação para elas? Que tal construir um lindo mosaico e impressionar geral? Que cor obtemos ao usar “color([0.5,0.75,0.5])”? Que tal testar e deixar nos comentários abaixo o que você encontrou?

Entendendo o Espaço de Minkowski (Topologia) - Parte 01

A muito grosso modo, o Espaço de Minkowski é uma configuração que modela um plano de 3 dimensões em um outro de 1, fazendo uma composição nova. Falando em uma linguagem mais simples e voltada para a ferramenta de CAD, vamos criar uniões entre duas formas diferentes de forma a deformar uma delas em função da outra, sendo que no nosso caso mais prático, podemos arredondar objetos. No exemplo abaixo, temos duas formas distintas, um cilindro (pode ser encarado com círculo também) e um cubo (pode ser encarado como um quadrado também) e quando contornamos o cilindro ao redor do cubo obtemos um cubo com bordas arredondadas. Isso é a operação de Minkowski que veremos por meio da ferramenta de CAD, o OpenSCAD.

Primeiramente precisamos entender como construir uma forma qualquer a partir de um único comando (no caso aqui explicado iremos utilizar o comando para a Geometria Plana, sendo que para a Espacial você pode pesquisar em: http://www.openscad.org/cheatsheet/index.html?version=2015.03):

Os comandos acima mostrados utilizam o “circle(r = 10, $fn = 5);’’ onde r é o tamanho do raio e o fn é a quantidade de lados que meu polígono vai ter. Mas por que o comando é chamado de círculo (tradução do comando) e não de polígono. O que o círculo tem em comum a todos os polígonos? Descubra isso para enriquecer sua experiência matemática.

Com isso se substituirmos o valor 5 (do fn) por 8, teremos ao invés de uma pentágono um octágono (aperte F5 para ver a visualização na tela). E o que acontece se substituirmos por 360? Veja o que acontece e deixe nos comentários abaixo suas experiências.