Criação de uma HQ Matemática

Quem não gosta de uma boa HQ ou um mangá (HQ japonesa)? Elas transmitem histórias emocionantes e destacam-se pela sua arte e forma de comunicação.

                              

Mas o que uma HQ tem a ver com a Matemática? Tudo. E não estou brincando. A Matemática é uma forma de linguagem com características próprias e graças a isso é possível criar contextos onde histórias envolvendo Matemática podem surgir. Aposto que você já deve ter visto esse livro abaixo em algum lugar do espaço maker. Já leu algo dele?

É claro que não estamos propondo aqui ensinar algo de Matemática por meio de quadrinhos. Queremos ir além. Criar histórias onde os elementos matemáticos possam aparecer naturalmente durante uma grande aventura, como por exemplo, no quadrinho intitulado "Bem vindo ao mundo Maker Games": https://pixton.com/hq:t3dmxw8g .Como será que essa aventura pode continuar? Que tal o desafio de você criar a continuação desse quadrinho? Deixe nos comentários o link para o seu HQ.

A ferramenta utilizada na construção da história em quadrinho acima é o Pixton (https://www.pixton.com/br/) um websoftware que é pago, cuja a principal deficiência que é não poder salvar o arquivo, pode ser contornada com um print screen para dar uma tapeada. Se quiser saber mais, veja uns vídeos tutorias sobre a ferramenta em: https://www.youtube.com/watch?v=HJzHAZtIpio&index=2&list=PLdfr5FLWAwhWhfmzxadDVIh87LmmedDQ0.

Até a próxima galera!

Figuras de Lissajous

Na matemática, a curva de Lissajous é um gráfico produzido por um sistema de equações paramétricas que descrevem um movimento harmônico tendo a seguinte equação norteadora:

${\displaystyle x=A\cdot \sin(a\cdot t+\delta ),\quad y=B\cdot \sin(b\cdot t)}$

A aparência do gráfico é altamente sensível à razão a/b. Quanto a razão é 1, o gráfico produzido é uma elipse ou até mesmo uma circunferência dependendo dos valores atribuídos na equação paramétrica. No caso abaixo, temos alguns valores de razão que produzem algumas figuras de Lissajous:

No Scratch podemos fazer figuras de Lissajous (sugere-se dar uma olhadinha na postagem Criando um gerador de Polígonos para entender alguns passos melhor) e ainda colocar mais iterações para produzir figuras ainda mais deslumbrantes, com o seguinte código presente no projeto Gerador de Formas - SENO ( https://scratch.mit.edu/projects/204342742/):

Esse código admite diversas entradas de valores, sendo alguns exemplos: 10/20, 30/20, 30/40, 50/40, 50/60 e 90/80 (elas derivam diretamente das formas apresentadas na figura inicial da postagem). Mas o que aconteceria se ao invés de 30/20, colocássemos 300/200 ou ainda 3000/2000? Você sabe explicar o porque desse efeito? deixe nos comentários abaixo seus testes.

E para finalizar, que tal mudar os valores de seno dentro da programação desse projeto (clique em Ver Interior)? Existe valores de seno que acontecem repetições? Por que isso acontece? Faça seus testes e deixe seus registros nos cometários abaixo. Até a próxima.

Criando um gerador de polígonos

Mas afinal de contas o que é um gerador de polígonos? Podemos entender um gerador de polígonos como uma ação na qual programamos linhas de comando para produzir polígonos a partir de uma fórmula padrão onde apenas inserimos uma valor de ângulo. Mas porque ângulo? Clique em ver interior no projeto Quadrado Artístico (https://scratch.mit.edu/projects/117323255/) e compare o que muda de um triângulo, um quadrado e um pentágono:

Como podemos ver acima, além do número de repetições, o que muda é o valor do ângulo interno, por isso podemos criar uma programação no Scratch só alterando o valor de entrada do ângulo e o número de repetições necessárias para fechar o polígono. Que tal testar? Crie um octágono regular. Como ficaria a programação desse octágono regular? Deixe nos comentários abaixo.
Podemos dar um incremento ainda maior nesse gerador de polígonos, fazendo com que ele construa repetições em maior escala da figura inicial e sem se preocupar com o número de repetições (podemos usar o comando "repetir até que" mais o "tocando em borda"). Dê uma olhada no gerador de Formas - Polígonos (https://scratch.mit.edu/projects/205145923/) abaixo:

Observe que o valor de tamanho da figura é fixo e ele aumenta em 1 a cada lado desenhado, evitando que a figura tenha sobreposições. E além disso, usando a ideia acima, o usuário pode dar um valor de ângulo para gerar o polígono que queira ver ter iterações consecutivas. Essa atividade vista aqui é um subpasso para entendermos sobre Figuras de Lissajous e sua construção no Scratch que veremos em outra postagem. Até a próxima.

Entendendo o Espaço de Minkowski (Topologia) - Parte 03

Mas e o Minkowski? Depois de todo esse percurso chegamos ao ponto de utilizar a ferramenta Minkowski presente no OpenSCAD de forma mais satisfatória. Observe o exemplo abaixo:

Temos um triângulo (em vermelho) e dentro dele teremos um círculo (em azul) se deslocando e fazendo os preenchimentos necessários. Note que nessa simulação, as pontas do triângulo não podem ser alcançadas pelo círculo formando a figura que aparece abaixo (em rosa). Isso é a operação de Minkowski.

É possível extrapolar para outras formas geométricas, confira como fica um hexágono:

E assim é possível brincar com diversas formas geométricas e “lapidar” suas pontas. Que tal testar com as mais diferentes formas geométricas? Que resultados você espera obter? Deixe nos comentários abaixo as suas experiências.

Entendendo o Espaço de Minkowski (Topologia) - Parte 02

Agora que entendemos o básico sobre a construção de um polígono regular (Parte 01) é hora de avançarmos para alguns procedimentos mais estéticos antes de entrarmos propriamente no Minkowski. Agora iremos aprender a chamar por comando a forma desejada, pois isso abre campo para a construção de várias formas ao mesmo tempo e podendo compor objetos maiores:

Perceba que foi definido em “module” o nome de como vai ser chamada a entrada de comando e em seguida a definição de como ele é construído com as demais linhas de comando. Faça algumas alterações em “poligono (4);”, substituindo o 4 por 6, 7 e 10. Que figuras obtemos?

Para construir outras figuras geométricas é necessário que elas não se sobreponham, por isso um comando de mudança de coordenada é necessário. Para isso utilizaremos o “translate([0,0,0])” ao lado do comando de cada forma geométrica construída e substituíndo os zeros por valores nos eixos x, y e z respectivamente:

No caso, acima além do quadrado, foi construído um octógono (na forma 3Dl) e a segunda forma foi deslocada em x e y para a coordenada (15,15). Mas e se quisermos colorir cada uma delas? Utilize para cada uma das formas geométricas o comando “color([0,0,0]), onde cada um dos valores numéricos correspondem às entradas do RGB (Red, Green, Blue) que conforme o valor 0 (não) e 1 (sim) irão formar as demais cores por composição (se quiser saber mais fica a sugestão e leitura: http://www.ufrgs.br/engcart/PDASR/formcor.html#2). 

Na programação acima temos a repetição das construções anteriores, mas agora é designada o valor 1 em cada entrada para formar as cores azul e vermelha? E as demais cores, como ficaria a programação para elas? Que tal construir um lindo mosaico e impressionar geral? Que cor obtemos ao usar “color([0.5,0.75,0.5])”? Que tal testar e deixar nos comentários abaixo o que você encontrou?

Entendendo o Espaço de Minkowski (Topologia) - Parte 01

A muito grosso modo, o Espaço de Minkowski é uma configuração que modela um plano de 3 dimensões em um outro de 1, fazendo uma composição nova. Falando em uma linguagem mais simples e voltada para a ferramenta de CAD, vamos criar uniões entre duas formas diferentes de forma a deformar uma delas em função da outra, sendo que no nosso caso mais prático, podemos arredondar objetos. No exemplo abaixo, temos duas formas distintas, um cilindro (pode ser encarado com círculo também) e um cubo (pode ser encarado como um quadrado também) e quando contornamos o cilindro ao redor do cubo obtemos um cubo com bordas arredondadas. Isso é a operação de Minkowski que veremos por meio da ferramenta de CAD, o OpenSCAD.

Primeiramente precisamos entender como construir uma forma qualquer a partir de um único comando (no caso aqui explicado iremos utilizar o comando para a Geometria Plana, sendo que para a Espacial você pode pesquisar em: http://www.openscad.org/cheatsheet/index.html?version=2015.03):

Os comandos acima mostrados utilizam o “circle(r = 10, $fn = 5);’’ onde r é o tamanho do raio e o fn é a quantidade de lados que meu polígono vai ter. Mas por que o comando é chamado de círculo (tradução do comando) e não de polígono. O que o círculo tem em comum a todos os polígonos? Descubra isso para enriquecer sua experiência matemática.

Com isso se substituirmos o valor 5 (do fn) por 8, teremos ao invés de uma pentágono um octágono (aperte F5 para ver a visualização na tela). E o que acontece se substituirmos por 360? Veja o que acontece e deixe nos comentários abaixo suas experiências.

Entendendo o Hull

O Hull é responsável por fazer a união de duas peças diferentes ligando suas extremidades (é recomendado você dar uma olhada nos posts sobre Minkowski antes para entender melhor). Do ponto de vista puramente matemático é algo bem complexo de se entender, por isso utilizaremos uma ferramenta de CAD para deixar bem lúdico.

Observe que no comando abaixo iremos utilizar tudo o que foi visto acima e a única novidade é o comando “hull()” responsável por essa operação. Sem ele teríamos apenas um pentágono e um hexágono separados, que inclusive são ilustrados pelas cores azul e vermelha com a repetição de comandos logo após a definição de “module poligono()”:

O Hull na Geometria plana não é tão atrativo, porém quando transportamos ele para a Geometria Espacial temos um impacto visual bacana. Veja como fica dois cubos 5x5 e utilizamos o hull nelas:

Note que tem existe uma repetição de comandos após o comentário em verde que é apenas para ressaltar as duas formas básicas iniciais. Se retirar isso, vai ficar a mesma coisa,m as sem o destaque. Outro detalhe é como foram dados os nomes de coloração, que diferem ligeiramente do padrão visto anteriormente. Quais outras cores podemos usar nesse sentido? É possível fazer hull com outros tipos de polígonos? Bora testar e deixar os seus resultados nos cometários abaixo.