Construindo um gerador de Polígonos Regulares

Você já tentou construir um quadrado no Scratch? Ao usar o complemento caneta (use o adicionar extensão) e a programação repetir 4 vezes os comandos mova (com um valor de tamanho de lado) e gire 90 graus você consegue obter o desenho de um quadrado. Mas e se você quisesse construir um pentágono? Quais comandos você precisa construir para construir um pentágono regular?

Você deve ter notado na figura acima que existem alguns elementos na programação do quadrado e do pentágono regular que parecem manter um padrão, a exemplo a quantidade de repetição de lado e de ângulos de acordo com o número de lados do polígono regular. Na Matemática observar padrões é fundamental para fazer novas descobertas. Se você tivesse que arriscar como construir um hexágono, heptágono e octágono regular, como você iria proceder? Quais ângulos seriam utilizados na construção desses polígonos regulares?
Se você conseguiu completar essas construções terá obtido 60 graus (hexágono), 51,4 graus (heptágono) e 45 graus (octógono). Mas como foram obtidos esses valores? A resposta para essa pergunta está na forma como o Scratch interpreta a construção desse polígonos que é baseada no cálculo do ângulo externo desses polígonos:

Como pode ser percebido acima, após a construção de cada lado, o cursor gira o ângulo correspondente ao ângulo externo desse polígono regular (o contrário do que muitos imaginariam que seria o interno) e vai repetindo isso até o número total de lados. Por isso para criarmos uma solução na programação que atenda a todos os casos de construção de um polígono regular precisamos usar a fórmula que define o ângulo externo de um polígono regular que é 360 graus (soma dos ângulos externos de qualquer polígono regular) dividido pelo número de lados. Ao transcrever essa fórmula para o Scratch (vai precisar usar  blocos de programação do tipo Variáveis), teremos o seguinte:

Essa construção se encontra disponível em: https://scratch.mit.edu/projects/323727093/. Agora experimente esse projeto e tente fazer alterações no valor de entrada do ângulo e de lado para construir repetições artísticas a estilo que se encontram nesse post (que são construídos usando conceitos de Geometria Anallítica): https://vemfazermatematicaegames.blogspot.com/2018/06/scracth-e-gcode-o-desafio-de-desenhar_15.html. Impressionante não é mesmo. Hora de por a mão na massa  e fazer suas criações. Até a próxima!

Construindo Mandalas no InkScape

Fazer uma mandala é algo prazeroso e que desenvolve o seu senso artístico. Mas construir mandalas tem muita Matemática envolvida e vamos explorar isso com o uso do InkScape (a mandala abaixo se encontra disponível nesse link: https://drive.google.com/drive/folders/1WxN3VpuY-oEGeWp0k8_d-x6xxctMU9_M?usp=sharing:

Como você pode observar as Mandalas possuem uma ou mais formas geométricas que se repetem de forma harmoniosa e nessas repetições usamos os conceitos de posição X e Y (plano cartesiano), simetrias, translações, ângulos e até mesmo matrizes. Para verificarmos a existência desses conceitos vamos construir uma Mandala usando o InkScape e conforme as construções acontecerem, iremos visualizar a Matemática existente.

O primeiro passo é construir uma forma básica que irá ser repetida. No exemplo da figura abaixo usamos uma elipse (opção em verde) como figura-base que irá ser clonada formando uma flor. Além disso, escolha um centro para sua mandala, usando as linhas guias (destacado em azul), pois desse centro dependerá toda a construção da sua mandala.

Uma primeira decisão é escolher o centro de repetição da figura, pois se o centro estiver dentro da própria figura, ela irá rotacionar dentro dela mesmo (observe a figura abaixo, o primeiro caso), que nessa construção não é o que queremos (se você quiser usar essa possibilidade para outra construção fique a vontade, mas não irá ter o formato necessário para a mandala em forma de flor). No segundo caso, o centro da figura (dê dois cliques nela e arraste a cruz para fora dela) foi deslocado de modo a coincidir com o centro da mandala construído acima com os eixos.

Mas agora você deve estar se perguntando, como consegue-se esse aspecto de repetição da forma básica (elipse)? Para isso, vá no menu "Editar/Clone/Clonar em Ladrilhos..." e na janela que abrir preencha os valores destacados na figura (lembre-se que esses valores mudam conforme o tamanho da sua mandala e da figura-base):

Esse valores correspondem ao posicionamento X e Y (plano cartesiano) que as elipses clonadas irão ter, o valor de giro de cada uma delas (ângulo) e que deve fechar a soma em 360º e por último, os valores referentes a disposição matricial dessas elipses, que no nosso caso é um arranjo de uma única linha de elipses dispostas em 12 colunas. Somando-se todos esses três atributos temos a construção mostrada na figura acima. Incrível, não é mesmo?

Agora que entendemos o exemplo acima, criar novas disposições das figuras-bases para a confecção da mandala fica muito fácil, basta alterar os valores acima e trazer novas formas básicas e é nesse momento que o seu dom artístico vai fazer a diferença. Que mandala você consegue construir? Hora de colocar a mão na massa, não esquecendo de usar cores vibrantes nela e apresentar pros seus amigos a sua produção. Até a próxima!